លំហាត់កំសាន្ត!!!


១.គេអោយបីចំនួនពិតវិជ្ជមានa,bនិតc។​ចូរបង្ហាញថាa^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca

ដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថាa^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca

តាមវិសមភាពAM-GMគេមាន៖

{{a^2 + b^2 } \over 2} \ge ab​ (1)

{{b^2 + c^2 } \over 2} \ge bc (2)

{{c^2 + a^2 } \over 2} \ge ca (3)

បូកវិសមភាព (1), (2) និង ​(3) អង្គនឹងអង្គគេបាន៖

{{a^2 + b^2 + b^2 + c^2 + c^2 + a^2 } \over 2} \ge ab + bc + ca

ដូចនេះa^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca

២.​ គេអោយចំនួនពិតវិជ្ជមានaនិងb។ ចូរបង្ហាញថា\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right) \ge \left( {1 + \sqrt {ab} } \right)^2

អនុវត្តន៍ រកតំលៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍៖

f\left( x \right) = \left( {1 + 4^{\sin ^2 x} } \right)\left( {1 + 4^{\cos ^2 x} } \right)ដែលx \in \Re

ដំណោះស្រាយ

បង្ហាញថា\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right) \ge \left( {1 + \sqrt {ab} } \right)^2

យើងមាន\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right) = 1 + \left( {a + b} \right) + ab(1)

តាមវិសមភាពAM-GMគេមានa + b \ge 2\sqrt {ab}

តាម(1)គេទាញបាន\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right) = 1 + 2\sqrt {ab} + ab

ដោយ1 + 2\sqrt {ab} + ab = \left( {1 + \sqrt {ab} } \right)^2

ដូចនេះ\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right) \ge \left( {1 + \sqrt {ab} } \right)^2

ដោយប្រើវិសមភាពខាងលើយើងទាញបាន៖

f\left( x \right) = \left( {1 + 4^{\sin ^2 x} } \right)\left( {1 + 4^{\cos ^2 x} } \right) \ge \left( {1 + \sqrt {4^{\sin ^2 x + \cos ^2 x} } } \right)^2 = 9

ដូចនេះតំលៃអប្បបរិមានៃអនុគមន៍នេះស្មើនឹង9

Advertisements

ឆ្លើយ​តប

Fill in your details below or click an icon to log in:

ឡូហ្កូ WordPress.com

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី WordPress.com របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូប Twitter

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Twitter របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

រូបថត Facebook

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Facebook របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

Google+ photo

អ្នក​កំពុង​បញ្ចេញ​មតិ​ដោយ​ប្រើ​គណនី Google+ របស់​អ្នក​។ Log Out / ផ្លាស់ប្តូរ )

កំពុង​ភ្ជាប់​ទៅ​កាន់ %s